「科学・数理（サイエンス）」カテゴリーアーカイブ

数学とは字のごとく数字の性質を扱う学問だが、高校までの数学とは違って大学以降の数学では意外と数字自体を扱うことは少ない。もちろん数学である以上、主人公は数字なのだが、その構造や演算の性質を記述する時は数字自体よりも数式で表す方が見通しが良くなり、一般性も高くなる。

タイトルで「数字は嫌いだ」と述べたが、ここで勘違いをしないでほしい。正確に書くと、「規則性のない数字、意味のない数字」が大嫌いだということである。だから数学で出てくる数字が嫌いなわけではない。簿記などのように何の規則性も数学的意味もない数字が大嫌いなのである。実際、数学に出て来る数字は非常に面白い。数学に出て来る数字と数式を縦横無尽に扱い、その性質を暴露することは非常に快感である。しかし簿記に出て来るような数字を見るとめまいがする。

なぜ近代数学は具体的な数字を扱うことが減ったのか？それは数学が高度な抽象理論なったことが原因である。昔は二次方程式の具体的な解を求めることが目的であった。それが「解の公式」という形で一段抽象化され、「５次方程式の解の公式が存在しない」というガロア理論へと高度に抽象化される。もちろん高度に抽象化された理論は難解かもしれないが、非常に豊富な内容を包摂する。そのような実り豊かな数学の世界を垣間見た数学者は、その世界からは抜け出せなくなる。それはいわば「数学中毒」と言えるかもしれない。しかしそのような中毒なら思う存分かかってみたいと思う。

世の中では抽象理論を敵視する風潮がある。抽象理論なんて何の役にも立たず、具体的な事象を示すことが大事だと。確かに社会で生きるためには具体性が最も重要なのかもしれない。しかし社会を高い視点で取りまとめる立場になるほど、抽象理論が威力を発揮する。商売をするには具体的な商品の値段が重要だが、経済政策を取りまとめる政府にとっては抽象理論が軸となる。数学も、身の回りで必要になる計算は具体的な数字の世界であるが、数学の世界の本質をより掘り下げるためには高度に抽象化した理論が必要になる。

物事をどれだけ抽象的に捉えることが出来るかということは、言い換えればその人の思考レベルを表していると言える。もし自分の生きる上でのホームグラウンド、あるいはテリトリーがはっきりしているのならば、そこでどれだけ思考や技術を抽象化できるかということに取り組むことは意味のある事である。さらに、もし自分がその世界のプロであるならば、抽象化の作業は欠かせない。抽象化の度合いはその人のステージなのである。

数学や物理理論は大きく一般理論と特殊理論に分けられる。もちろんその中間的な性質のものもあり、そう厳密に分けられる訳ではないが、大まかにはこのように分けられるであろう。一般理論には一般理論の面白さがあり、特殊理論には特殊理論の面白さがあるので、どちらが面白いかと一概に言える事ではないが、僕はどちらかというと一般理論の方が好きだ。

数学における特殊理論の代表は、特殊関数と言われる部類のものだろう。特殊関数とはある特殊な性質を持つ関数の事だが、僕は以前特殊関数にはほとんど興味がなかった。しかし最近ある事に気づいた。特殊理論と言われるものでも、それをどんどん掘り下げて追究して行くと一般理論にたどり着くのだ。特殊理論とは一般理論という大陸から離れた小島という捉えられ方をされることが多いが、その深い所ではその小島と一般理論大陸は強くつながっているのである。そこに特殊理論の醍醐味がある。最近はパンルヴェ方程式と言われる特殊な方程式が、百年近く経った今になって一般理論と結びつきそうだという研究結果もあるみたいだ。

ところで、“特殊”相対性理論はその名に反して最も“一般的”な物理理論と言える。“一般”相対性理論はそれに比べると少し特殊だ。物理理論においても、特殊な理論をさらに掘り下げると一般理論へと昇華することが多い。しかし数学と比べると、物理理論は一般理論とは言え特殊性が強いように感じる。最近では物理理論をきっかけに新しい数学理論が出来たり、その逆の事が起こったりということが日常茶飯事である。物理の枠組み、あるいは数学の枠組みということにこだわっていれば、数学と物理の間にまたがる本質的な仕事は出来ない時代なのだろうと強く感じる。

ここまで物理と数学における一般理論と特殊理論に関して述べたが、そのような構造は様々な所で見られる。経済でも「マクロ経済」と言われる一般理論のようなものから「ミクロ経済」と言われる特殊理論のようなものがある。ネットビジネスにおいても「プラットフォーマー」という一般的な部類から、プラットフォーマーが作った枠組みの中でどうビジネスを行うかという特殊な部類がある。そのような例を見ても、一般的な部類の方がその適用範囲の広さからより規模の大きい仕事が出来るようである。しかしプラットフォーマーのような一般的な仕事も、元を正せば非常に特殊な仕事から発展していることに気付く。なので一般的な部類で仕事をするにしても、特殊な仕事は無視できない。いかにして一般と特殊の間を行き来してその間の本質的なつながりを見抜くか？そのような本質を見抜いた時、仕事のスケールが飛躍的に大きくなることであろう。

「宇宙船地球号」とは非常に的を得た命名である。その名前の中には、宇宙と比べた時の人間の存在の小ささが表現されている。しかし現在、情報社会が飛躍的に発達し、コンピューターは極度に高度化し、科学技術の発展も留まるところがない。そしてそれと同時に科学理論も常識では考えられないような展開を見せている。そのような現状の中、宇宙というものをどう捉えるかと考えた時、もしかしたら「地球船宇宙号」なんてこともあり得るのではないかとふと考えてしまう。

もちろん「地球船宇宙号」などというのは、考える僕のおごりかもしれない。いや、そうであってほしいと思う。人間はまだ月までしか到達していないし、あと数十年経っても太陽系の外には出ることはないかもしれない。しかし人間の知識は過去から未来まで宇宙全体を飲み込もうとしている。少なくとも物理理論はそのような領域に達している。宇宙の誕生の原理さえも解明しようと必死になっている。ただこれらの理論は検証することが非常に難しく、正しいかどうかを判定できないところがもどかしい気がする。

一昔前まで、人間が自然（地球）を支配するという思想があった。現在は人間も自然の一部であるという思想が強くなったが、技術的にはかなりコントロールすることが出来る。特に負の支配、つまり環境破壊に関しては、人間の行動を意識的にセーブしなければ一瞬にして地球を破壊できるレベルまで来ている。しかしその逆、つまり破壊したものを作り直すことは非常に難しい事業であり、お金も時間も膨大にかかる。そういう意味では人間が自然（地球）を支配するというのは幻想かもしれない。

しかし人間の知は無限であるような気がする。それは何も人間の知によって全てのことが出来るという意味ではなく、自然法則をエンドレスに理解できるということである。宇宙から素粒子まで、人間の知のスケールは果てしなく大きい。とは言え、まだまだ道半ばと言える。そのような人間の自然科学の知は、科学“技術”へと応用される。そこが面白い所であり、恐い所でもある。

科学技術というものは必ずしも豊かさだけをもたらすわけではなく、負の側面もある。特に現代技術ではそれが顕著だ。最近ではゲノム編集された子供が生まれたということが話題になった。一人の科学者だけなら完全に倫理観を守ることはできるが、科学者が何万といる中ではその中の何人かが倫理観に反した行動を取るともわからない。さらに科学技術者自身は社会の発展のためと思ってしていることでも、それが破滅を招くことも十分にあり得る。科学の発展は進化か？暴走か？それが実際に行ってみないとわからないところが科学技術展望の難しい所である。

最近、面白い理論を知った。数学の代数的な理論であるが、知ったというより「気付いた」と言った方が正確かもしれない。昔からその理論の存在は知っていたが、最近必要に迫られてその理論の専門書を読むと、びっくりするくらい面白い理論であることに気が付いた。以前の僕は代数学は専門外であると全く手を付けることはなかったが、いざ手を付けてみるとこれが非常に面白い！物事というものは、必要に迫られて取り組む方がより面白く感じられ、意外な発見をするものかもしれない。

僕は計算よりも構造に興味がある。その理論も計算理論というよりも構造理論だ。しかもその構造の理解の仕方が面白い。計算半分、図を半分という具合に、視覚的に構造を訴えてくる。そして理論の適用範囲が非常に広い。代数学の理論ではあるが、解析学、幾何学、そして数理物理学にも縦横無尽に利用されている。良い理論というものは、無限の適用範囲があるのかもしれない。

物事に取り組む時、壁を作るのは好ましくない。専門ではないからと言って初めから手を付けないのは、あらゆる意味で不生産的だ。必要なものは何でも取り組んで行く、そのような姿勢で取り組むことが大きな成果へとつながるのだと思う。専門にこだわり続けば永遠に蛸壺の中で過ごすことになってしまう。

僕は基本的には分野の区別というものをしない。数学と物理学という区別も意識しないし、最近は全く専門外と言えるかもしれない生物学の論文も読んだりしている。分野の壁とは人間が便利上の理由で人工的に作ったに過ぎない。そもそも自然に物理学と化学の境目なんて存在しない。化学と生物学も同じだ。分野の壁にこだわるのは非常にバカバカしいことである。

数理的自然と自然科学は全てが一体化して構成されている。数学の理解なしに物理学の理解はありえないし、物理学の理解なしに化学や生物学の理解はありえない。数理と自然科学を一体として理解する姿勢がなければ、科学の本質は永遠に理解できないだろう。

理論には深さがある。表面的な所から土台となる部分まで、深度によってそれぞれが階層をなしている。最近の技術で言うと、プログラミング言語が典型的な例かもしれない。表面的なプログラミング言語からアセンブリ言語まで、それぞれがそれぞれの階層で役割を果たし、コンピューターをプログラムしている。

数学にも階層が存在する。どのように階層分けするかはそれぞれの数学者によって違ってくるが、おそらく一番深い所にあるのが数理論理学であろう。しかし数理論理学は数学というよりむしろ論理学の範疇にあると言え、一般の数学者にとっては近寄りがたい存在である。

余談であるが、数理論理学の定理であるゲーデルの不完全性定理は何とも不思議で壮大な定理である。不完全性定理は、今風に言えば「数学にはバグがある」とでも言うべきであろうか。数学は完全無欠な体系であると信じられていたのが、数学は不完全であるというのである。不完全性定理のゲーデルの論文の日本語訳は岩波文庫でも出ているが、通常の数学ではなく論理学的な流儀で書かれており、理解するのは簡単ではない。

ゲーデルの不完全性定理が数学の一番深い階層にある理論だとすると、一番表面的な所にあるのは応用数学ということになるであろうか。とは言え、応用数学という言葉を持ち出すのは適当ではないかもしれない。なぜなら応用数学とは理論名ではなく、さらにあまりにも言葉の適用範囲が広く的確に指定できない。

深い階層であればあるほど抽象的であり奥が深い。深い階層の数学には憧れもあるが、手ごわい相手でもある。２０世紀の偉大な数学者であるジョン・フォン・ノイマンは、若い頃は基礎的な分野、つまり深い階層で研究しており、晩年はコンピューターのような表面的な階層に移って行ったようである。逆に表面的な階層から深い階層へと移る人もいる。深い階層と表面的な階層のどちらが偉いかという問題ではないが、どちらのテリトリーで研究するにしろ深い階層の存在を意識することは非常に重要であると思う。

問題を解決するには二つの方法がある。一つは制限を付けて特殊化する方法。もう一つは制限を外して行き一般化する方法。どちらが良いかは臨機応変に考えなければならないが、僕自身は一般化して行く傾向がある。

制限を付けて特殊化して行くことのメリットは何か？それは問題を視覚化できやすくし、何を計算すればよいか見通しが良くなることである。しかしその一方、細分化されすぎて適用範囲が極度に狭まってしまう可能性が高い。

では、制限を外して一般化するメリットは何か？それは一般化されるが故に抽象的になり、適用範囲が圧倒的に広くなる可能性が高くなることである。しかし一歩間違えると自明な結果しか得られず、何の意味もなさなくなる可能性がある。

確実に結果を出そうと思えば、制限を付け特殊化して行くことが非常に有効である。しかしその結果自体はちっぽけなものになるであろう。一般化して行けば問題が壮大になり、あらゆる知識が必要になる。従って問題を解決するための準備が膨大な量にのぼり、準備だけで息切れしてしまう可能性がある。しかしもし結果が出れば非常に大きな成果になるであろう。

フィールズ賞（数学のノーベル賞と言われている）受賞者の広中平祐が学界で問題提起した時、多くの数学者は制限を付けて特殊化して部分的に解決すべきだと言ったらしい。しかしこれまた偉大な数学者の岡潔は、むしろ制限を外して一般化して問題を解決すべきだと言ったという。その結果、広中平祐は一般化して問題を解決することに成功し、フィールズ賞を受賞したという。

問題を解決するに当たり、特殊化するか？一般化するか？これは取り組む問題にもよるが、それ以上にその人の思想が顕著に表れるところだと思う。しかしもし抽象化することに長けているのならば、一般化して問題を大きく捉えるべきだと僕は強く感じる。

去年終わり頃の朝日新聞デジタルのニュースの中に、「リーマン予想証明？」という記事があった。リーマン予想は少しでも数学をかじったことのある人なら、名前ぐらいは聞いたことがあるだろう大問題だ。しかしこのような大問題は、解けたというニュースが流れては「間違っていた」と否定されることがほとんどであり、今回のニュースも怪しいものではと記事を見てみたら、その解いた数学者がなんとマイケル・アティヤ大先生だということでびっくり仰天した。

アティヤ先生は現在８９歳で、数学者の間では「アティヤ・シンガーの指数定理」や「ADHM構成」など、知らない人はいないのではというくらい超一流数学者だ。僕の手元にも、アティヤの論文（指数定理関係など）は数編置いてある。ちなみに、アティヤ先生の専門は幾何学や数理物理学である。しかし今回のリーマン予想は（僕はそっちの方面には詳しくないが）、数論関係の問題なので、アティヤ先生のこれまでの専門とは少し畑違いなのではと僕は感じる。しかし一流数学者ほど分野の垣根にとらわれず、幅広く大きな業績を残すものである。

リーマン予想には僕はあまり詳しくないが、１６０年未解決であったらしい。まだアティヤ先生の証明が正しいとは確定していないが、現在査読が進行中であるようだ。そして誰もが、アティヤ先生ならあり得るかもと思っているに違いない。記事によると、アティヤ先生は別の（物理的）問題を考察する中で、副産物としてリーマン予想が解けたと言っているようだ。

果たして本当に解けたのかどうか？解けたのなら大きなことであるし、もし間違っていたのならリーマン予想に取り組む他の数学者にとっては希望が繋がれる。おそらく今年中には解けたのかどうかが一応確定するのではないかと思われる。

よく「時代が変わったから」と言われ、納得させられることがある。しかし物事の本質は時代によってそう大きくは変わらないことが多い。時代によって変わるのは物事ではなく、人間の方だ。人間の受け取り方、理解、解釈が時代によって目まぐるしく変わるのである。

例えば、人間の死という現象自体はどの時代も変わらない。しかし時代の文化、認識、そして科学の発展によって、人間の死というものが持つ意味が大きく変わるのである。そのように、時代によって変わる本質だと思われているものは、大きく人間が介する物事が多い。人間が関与しているからこそ、本質が急激に変わったりするのである。

では科学の本質は時代によって変わるのか？これは非常に難しい問題である。もちろん、科学というものは常に発展し続けており、科学の本質と思われるものは時代によって大きく変わってくる。しかしこれも、科学を作っている人間の理解が変わっていると言える。自然科学の言う「自然」自体は時代によって変わるはずもないように思える。例えば運動方程式が時代によって変わることはない。科学の本質は「自然」の側にあるのであって、人間は「理解させていただいている」と言う方が正しい。

しかし、自然の側にも時代によって大きく本質が変わるものもある。その代表は「生命」である。生命というものは絶えず進化しており、数億年前の生命と現在の生命は構造的に大きく違うところがある。例えば、原核生物と真核生物では本質的に異なる部分が多い。とは言え、「生物」と言う意味で本質的に共通する部分も大きいが、これらの違いは時代の進化による本質の変化と見て良い。これらの変化は人間の理解の変化などと比べ物にならないような本質的変化である。

近年、コンピューターの進化が激しい。コンピューターはもちろん人工物であるが、その本質は情報理論的構造、及び論理構造であり、数学にかなり近い構造をしている。僕は、コンピューターの進化は、「第二の生命の変化」だと考えている。つまり、コンピューターの進化は時代によって変わる本質的変化だと言える。しかしその進化は超絶的に速い。生命が数億年かけて進化したようなことを、コンピューターは数年で成し遂げてしまう。コンピューターは単なる道具ではなく、一つの大きな科学的対象だと捉えるべきである。

本質を捉える際は、変わる本質と変わらない本質を見分けなければならない。そのことを理解しないと、物事の本質に踏み込んで理解することはできない。

芸術家の岡本太郎が「芸術は爆発だ！」と言ったことは有名だ。僕には芸術がどう爆発するのか理解できないが、一流芸術家の岡本太郎がそう叫んだのなら、そういうこともあるのだろう。

芸術とは違うが、知も爆発する。それは個人レベルでもそうだし、社会レベルでもそうだ。しかし何もないところに知が爆発することはない。爆発するまでに知の蓄積が脈々と受け継がれて積み重なった所にしか知の爆発は起きない。だから何か爆発的な結果を出すためには地道に努力するしかないし、社会においても知を寛容に受け入れないと知の爆発は起きない。

物理学における知の爆発と言えば、誰もが２０世紀初めの量子論・相対論革命を思い出すだろう。しかし量子論も相対論も、何もない所に降って湧いた訳ではない。それらが誕生するための基盤が着々と固められていたのである。そこにハイゼンベルグだとかシュレーディンガー、そしてアインシュタインがとどめを刺したということだ。

知の爆発はそんなに頻繁に起こる訳ではない。しかし常に知の爆発を起こすための努力はし続けるべきである。そしてそのためには、山中伸弥教授の言うVW（ビジョン＆ハードワーク）が必要なのは言うまでもない、努力は必要だが、それだけでは生まれない。ビジョンが必要不可欠なのだ。日本人はハードワークは得意だがビジョンがないと言われ続けてきた。そして今ではそのハードワークまでもが失われつつある。そのような時代なのだと言われればそれまでであるが、個人が自分の立てた目標を成し遂げようとするときにはハードワークは必要だ。もちろんハードワークをしない自由もある。それはすべて自己責任と言える。

知の爆発を起こすべく、個人も社会もVWを掲げたいところだが、片一方が出来る人はそれなりにいても両方が出来る人はそうはいないのかもしれない。山中教授はiPS細胞という知の爆発を起こすことに成功した。そして生命科学の分野ではゲノム編集などの知の爆発が立て続けに起きている。他分野の人間はそれらを指をくわえて見るのではなく、周りの人に指をくわえさせるような知の爆発を起こさなければならない。

あけましておめでとうございます。新年の挨拶は軽くこれくらいにして、２０１９年一本目のブログ記事に入ろうと思う。

物事に取り組んでいる人は、大きく二つに分けられる。哲学を持って取り組んでいる人と、哲学無き人。哲学を学問として取り組んでいる人以外は哲学などは無用だと思っている人も多いが、哲学を持って取り組むことは非常に意味のある重要な事である。哲学無き学問は総じて軽いし、学問以外でも哲学のない物事は中身が詰まっていない張りぼてである事が多い。哲学を持って取り組んでいるかどうかによって、出来上がるものが天と地ほど違ってくる。

数学や物理の研究においても、哲学を持って取り組むことは重要だ。哲学がなければ数学は単なる計算に過ぎない。単なる計算ならコンピューターにやらせておけばよい。哲学的な部分があるからこそ人間がやる意義があるのである。数学は誰がやっても同じ結果にたどり着くと思っている人がいるが、それは全く違う。哲学の違いによって右にも左にも行き得るのだ。そこが数学研究の本質である。

ではそもそも哲学とは何か？この答えは一つではないし、答えるのは非常に難しい。ただ一つ確実に言えることは、哲学は人間だけが持ち得るものだと言うことだ。そういう意味で、哲学は人間らしさであると言える。「いかにして生きるべきか？」という問いを突き詰めていけば、自然に哲学へとたどり着く。それと同様に、「いかにして数学の本質を追究していくか？」ということを突き詰めれば、数学的な哲学を構築する必要性に迫られるはずだ。真剣に学問を追究すれば、哲学は自然と出来上がってくるものである。

もし今取り組んでいることに対して深く理解したいとか、本質を突きたいと思えば、一度立ち止まってそのことに対する哲学を立てる必要がある。そして哲学を立てることが出来れば、物事と哲学が相互作用を始め、有機的な構築が出来るはずだ。