科学・数理(サイエンス)」カテゴリーアーカイブ

大学初年級の数学と小学校の算数。

理系における大学初年級の数学と言えば、線形代数、微分積分、集合・位相だ。これはどこの大学も大筋は変わらないと思う。特に数学科では大学1、2年でこの三教科を叩き込まれる。この三教科が簡単か難しいかはともかく、大学初年級でこれらの教科を理解することは可能かもしれない。しかし「“なぜ”この三教科を叩き込まれるのか?」ということを理解している人はほとんどいないと思う。しかしこの「なぜこの三教科を勉強するのか?」ということを理解することは、数学を修めるうえで一つの目標かも知れない。

学年が進んで行けば、群論・環論・体論の代数学や複素解析、関数解析、位相幾何学など様々な分野に進むことになる。しかしこれらの分野を理解して行けば、その根底にある構造は線形代数、微分積分、集合・位相にたどり着く事に気づく。だからこの三教科を理解しておけばその後の理解は容易になるし、理解していなければ数学の本質が掴めない。線形代数、微分積分、集合・位相は全ての数学の根幹なのである。

このような数学的構造はあらゆる分野に応用できるのではないかと僕は思う。物理学や工学はもちろんの事、生物学や経済学、さらには哲学まで、全ての根幹はここにあると考えている。数学は理系教科であり文系の人には必要ないと考えている人は多いだろう。しかし数学的思考は文系であろうが日常生活であろうがどこでも応用されるものである。特に全ての事柄において「構造」を見抜くには数学的視点は非常に有効である。

最後に一つ述べたいことは、小学校の算数はバカには出来ないと言うことだ。小学校の算数をバカにする人は、100%数学を理解していない。小学校の算数には数学の重要なエッセンスが凝縮されている。例えば(あえて専門用語で言うと)「可換」という概念や「測度」という概念、更には論理構造など、これらの大学レベルの高度な概念のエッセンスは全て小学校の算数に表れている。しかし肝心の小学教師がこれを全く理解していない。特にこれらを全く理解していない教師ほど、小学算数を誰でも教えられるとバカにしている。そして嘘を教えている。

初年級に叩き込まれるものには必ずその理由が存在する。大学初年級の数学にしても、小学算数にしてもそうだ。そしてここをしっかりと理解すれば、その後はそれらの組み合わせに過ぎない。ここでは算数・数学を例に取って言ったが、これらの事はあらゆる分野に当てはまる事である。初年級の学問をバカにしてはいけない。

日本的学問の自由。

数学も科学も普遍的なものなので「日本的」と言うのはおかしいかもしれないが、あえて言うと日本的数学、日本的科学というものがあるような気がする。数学の発祥は二千年程前のギリシャに行きつくし、科学というものが厳密に成り立ったのは17世紀のニュートンに行きつくと言える。従って、数学や科学はヨーロッパ的と言え、質的にも量的にも圧倒的にヨーロッパの功績が大きい。もちろん20世紀以降で言えばアメリカの功績が大きいのは言うまでもないが。

では日本的な数学・科学とは、どういう所が日本的なのか?それは理論内容と言うより理論が内包する哲学にあると言える。特にその中でも京都学派と言われるものの個性は際立っている。京都学派と言えば、哲学の西田幾多郎、和辻哲郎から、物理学の湯川秀樹、朝永振一郎を思い浮かべるが、忘れてはならないのが数学の佐藤幹夫だ。それらの哲学は京都と言う土地が醸し出すものなのか、それとも研究者の個性の醸し出すものなのか、と悩んでしまうが、おそらくその両方ともであろう。最近、佐藤幹夫の理論に触れることが多いが、その一番特徴的な所は圧倒的な個性であろう。佐藤幹夫の理論には佐藤幹夫という人間の個性が凝縮されている。

京都は非常に自由だと言われる。そのような京都に憧れる研究者も多いが、最近僕が危惧しているのは日本全体に覆う制約だ。少し前のブログでも少し触れたが、法的にも日本の学問研究を規制する方向に向かっている。この流れは世界の学問の潮流とは真逆を行くものだ。こんな事では日本の科学や広く学問が衰退するのも無理はない。この様に学問に理解のない日本においては科学技術をリードして行けるはずもなく、それに伴って経済も衰退していくのが目に見えている。学問と経済は関係ないと考える人も少なくないが、現代社会では全てが科学などの学問によって支えられていると言っても過言ではなく、目の前の金銭的な事ばかり見て行う施策政策のもとでは、経済や金融などの金銭的豊かさまでも奪ってしまうことになるだろう。

今の日本はとてもじゃないが世界をリードしているとは言えない。科学などの学問や経済において日本は後れをとっている。しかし後れをとっているが故に目の前の事しか見えていない。今日本にとって必要なのは長期的展望である。確かに目の前を走るGAFAは気になるし、焦ることもあるだろう。しかしそれを追いかけてばかりいればその結果は二番煎じ三番煎じであろう。いや、二番三番ならまだましだ。それほど現在の日本の置かれた状況は深刻だ。

広い認識では、「教育が国を作る」と言われている。明治維新後の日本の発展、そして戦後の日本の発展は教育が作ったと言っても過言ではない。しかし教育も時代によって変えて行くべきだ。戦後の教育が上手く行ったからと言ってその教育が今の時代にマッチするとは限らない。それどころか今の日本の教育は世界的潮流に逆行している。それは国の政策レベルでも学校の教育レベルでも同じだ。僕が現場の教師から聞く話は非常にひどいものである。学問において自由を伝えるべき教師がそれと真逆な事を教えている。教育というものは一朝一夕で成果の出るものではない。だからこそ長期的展望をもって日本の学問、日本の教育というものを構築して行かなければならない。そこでキーワードになるのはやはり「学問の自由」としか考えられない。

数学は哲学、しかし哲学は数学ではない。

古代ギリシャでは、数学は哲学の一部門であった。もちろん科学も哲学の一部であった。それらの数学や科学は「自然哲学」と呼ばれていたみたいだ。すなわち、自然の仕組みを解明する科学は、自然に対する徹底的な思考、すなわち哲学なのである。しかし現代では科学と哲学はほぼ別部門になっている。

しかし現代でも、科学に対して哲学的な姿勢を求めることは重要ではないかと強く感じる。すなわち、数学や科学を「自然哲学」と捉えるのである。しかし何もマニアックな哲学と同じように捉える必要はない。大事なのは、数学や自然に対して「意志」を持って究明することである。数学はある意味ロジックであるが、しかしロジックだけで数学が成り立つ訳ではない。そこには数学者の意志や哲学が入魂されているし、計算だけならロジックだけで出来るかもしれないが、概念の定義などはロジックだけでできるものではない。

最近、ロジカルシンキングという言葉をたまに聞くが、数学においてはロジカルシンキングは当たり前の事であり、重要なのはロジカルシンキングを超えるところにある。数学的実態をどう視覚的に捉えるかとか、それまでにはなかったロジックを発明する必要もある。数学とは実に有機的で色鮮やかなものなのである。もし数学に対して無機的で機械的だと感じているのならば、それは数学の本質が見えていないということだ。

時には完全なロジックから、ロジック以上のものが生まれることもある。その代表が「ゲーデルの不完全性定理」であろう。ゲーデルの哲学がどんなものであったか?僕には知る由もないが、完全なロジシャンであるゲーデルであるからこそ、普通の数学者以上の有機的な偉大な哲学があったに違いない。

数学や科学において、本質的に直感はあてにならない。

数学や科学においては、実に直感はあてにならないものである。例えば有限の数を数えるという直感が無限の数では全くあてにならないことを示したのが、集合論を創始したカントールである。さらに空間や時間というものが直感から得られるものとは全く違うことを示したのが、特殊相対性理論を構築したアインシュタインであった。

数学や科学を構築するにあたっての大原則が二つある。一つ目は概念の厳密な定義、二つ目が厳密な論理による展開である。この二つがないと、数学や科学の発展はありえない。なぜ古代ギリシャ時代のユークリッドは誰もが当たり前に思えることを、一見回りくどく思えるような論理で展開したのか?それは物事の本質を明らかにするためである。当たり前に思えることを論理的に基礎づけしてみると、当たり前だと思っていたことが当たり前ではないことが明らかになる。そして本質は何で、それに付随するものは何かとういうことも白日の下にさらされる。2千年前のユークリッドの定式化なしに現代の科学の発展はありえないのである。

しかし19世紀の哲学者・ショーペンハウアーは「意志と表象としての世界」で、ユークリッドの議論を「義足を履くために足を切断するようなものだ」と言っている。ショーペンハウアーは「直感こそが一番正しいものだ」と論じているのである。さらに空間や時間に関する論理に至っては、その当時の科学的見識に照らし合わせても目を当てられないくらいひどいものである。ニュートンの科学的見識に照らし合わせてもショーペンハウアーの議論は幼稚なものであるが、「意志と表象としての世界」を出版したのは1918年なので、その十年以上前にはアインシュタインの特殊相対性理論と言われる時間と空間の物理学が世に出ている。ショーペンハウアーが不勉強だったのかとも思ったが、おそらく数学や科学に敵対心を持ち、それらを否定することに躍起になっていたのではないかと思われる。

僕は科学を専門としている人間の中では、かなり哲学を重視し好意を持っている方だと思っている。しかし最近、ショーペンハウアーをはじめとするドイツ哲学に失望している。そう言えば、微分積分学をニュートンと独立に発見したライプニッツは哲学者としても有名だ。ライプニッツの哲学に触れた訳ではないが、数学者であるライプニッツの哲学はおそらく自然科学的だと思われる。機会があればライプニッツの哲学にも踏み込んでみようと思う。

なぜ論理的である哲学で直感が重視されるのか?僕には理解できない。初めに述べた無限の数を扱う集合論や時間と空間を扱う相対性理論以上に、ミクロの世界を扱う量子論は反直観的だ。全てが直観とは反する振る舞いをする。科学では直感の呪縛から逃れることが大きな飛躍につながるのである。直観とは実にあてにならないものである。そう人間に気づかせてくれるのが、人間が科学を追究する一つの意義かも知れない。

加速器実験、理論の力。

素粒子物理学の研究は、理論研究と並行して実験を行うことが必要である。しかしこの素粒子実験というものはとてつもない巨額の費用が必要になる。現在東北で進んでいる加速器計画の建設費は数千億円だという。もちろんこれらの加速器研究は国際研究であるので全て日本が負担する訳ではないだろうが、それにしても加速器研究にかかる研究費は桁違いである。これらの研究は実利があるかと言われれば、金銭的な実利は期待できない。しかしこのような金銭的実利ははっきり言って小さな問題であり、重要なのは人類の知に貢献できるかということだ。

現在、素粒子の理論研究はとてつもないレベルにまで進んでいる。しかしそれを確かめる実験はそう簡単には進まない。先述したように巨額の費用がかかるためだ。しかし実験で正しいことが証明されなければ科学は正しい進歩をすることはできない。間違った事を基に間違った理論が進む危険性も大いにあるからだ。現在非常に進んでいる素粒子理論が正しいとは限らない。これが正しいということを証明するには、理論という範疇を超えて実験で証明するしかないのだ。

しかし、先進的な素粒子理論以外にもするべき理論研究は他にもある。それらに対する研究費を出すべき人に投資できているか?一度精査する必要があるのではないだろうか。もちろん加速器実験に数千億円つぎ込むのも良い。しかしつぎ込むべき研究者に数百万円の研究費を出せているか?大きなプロジェクトだけではなく、足元もしっかりと見なければならない。

加速器の巨大プロジェクトを遂行するのは、日本をはじめとする先進国の責務だ。このような研究を遂行できる国力は誇るべきものである。しかし理論の力も見逃してはいけない。実験に比べると理論にかかる研究費などは微々たるものだ。そこにしっかりと研究費を投資出来れば、費用対効果は限りなく高い。しかし現在、基礎理論にしっかりと研究投資できているかと言えば疑問に感じるところがある。実験の大型プロジェクトを遂行するのも非常に意義があるが、数学などで理論的大型プロジェクトを遂行することもそれ以上の意義があると思うのだがどうだろうか?

どれくらいの教養を目指すか?

専門を究めないといけないのは当然のことだが、教養も非常に重要である。しかし目指す教養のレベルは人それぞれ違う。お話を聞くようなレベルなのか?解説書を読むくらいのレベルなのか?それとも論文を読むくらいのレベルなのか?僕は専門外の教養であっても、代表的な論文くらいは読むレベルでありたいと思っている。例えばノーベル賞受賞者の研究を知りたいのならば、その研究者の代表的論文くらいは読みたいと思っている。

ということで、2018年度ノーベル医学・生理学賞受賞者の本庶佑博士の論文を読もうと、本庶博士のホームページを訪ねた。そのホームページには全論文のリストがあったので目を通して見ると、なんと637本の論文リストがあった。とてもじゃないが全部読めないし、どれが一番重要な論文かもわからない。そこで代表論文と書かれたリストを目を通して見たが、これも数十本ある。おそらくどれも重要な論文ではあろうが、さすがに数十本目を通す力はない。本庶さんの論文を読みたいが、どれを読めばよいのかわからない、と迷っていてもしょうがないので、とりあえず重要そうな論文を一本ダウンロードしてみた。専門的な遺伝子名などはよくわからないが、とりあえず目を通して見ようと読んではいるが、さすがに正確には理解できそうにない。でも色々と論文を読んでいくと、少しずつ分かってくるのかもしれない。空いた時間で専門外の生物学・医学関係の論文に当たってみようと思う。

専門家はスペシャリストであり、教養家はある意味ジェネラリストであると言える。しかしジェネラリストであっても軸となる専門は必要だし、スペシャリストであっても幅広い教養は必要である。そしてどれくらいの教養を得るかと言った時、専門研究者のように実験をして新しい見地を得るまでは行かないが、論文を読んで専門的知識を得るくらいのことはした方が良いと考えている。

最近、何だか知識欲がかなり湧いて、専門外の分野に関しても色々な文献を当たっている。もちろん専門外の事は専門的知識がないことも多々あるので基礎的文献を読むことは必要だが、いきなり最先端の論文に当たるのもありだと思う。ここで重要なのは最先端に“触れる”ではダメなのだ。最先端を“理解”しなければならない。そしてもちろん、専門分野を追究することも怠ってはいけない。専門分野に関しては新しい知見を生み出すことが要求される。二刀流という言葉は少し違うような気がするが、専門と教養の二刀流になることが、科学に生きる人間には必須であるように強く感じている。

脳と意識の科学のこれから。

20世紀後半からの科学では、人間の本質は脳であるという主張が強いように感じる。確かに心臓移植というものはあるが、仮に脳を移植するとすればそれはもう別人と言って良い。ある意味脳が本質的であるという意見は的を得ているが、脳も体がなければ生きていけない。そういう意味で、体は脳の付属品かと言えばそうは言い切れない部分がある。

しかし近年の科学の進歩は加速度的に速くなってきている。それに伴って、人間というものに対する見解も変化している。しかし脳の研究、さらに言えば意識の研究というものはまだ黎明期だと言える。意識の本質は何か?ということに対する科学的な答えはまだ99%出て来ていない。そもそも意識を科学するにはまず何から手を付ければよいか?ということさえはっきりしていないと言える。しかし始まったばかりながらも、意識の科学研究は確実に進歩している。

脳はある意味特別な臓器だと言えるが、元を正せば皮膚や心臓、血液などと同じように一個の受精卵を起源としている。そういう意味では心臓と脳を生物学的に100%区別することは出来ないのかもしれない。しかし99%区別することは出来るかもしれない。現時点での脳の研究、意識の研究は、人間やその他の動物などの脳を使って研究されている。しかし人間の脳に実際に極板を入れるなどということは倫理的に許されないから、研究者は試行錯誤して脳の本質を見出そうとしている。脳や意識の研究は、現代科学の中で最も困難で最も独創性のいる研究だと言える。

これからの科学研究によって、脳が他の臓器と違って神聖的な臓器だと言われる可能性もないわけではないが、これまでの流れを見ると最終的には、生物学的には根本的に他の臓器と何ら変わりがないと言われるような気がする。それ以上のことは生物学というより、脳のネットワーク的情報理論的なアプローチが取られるような気がする。脳という臓器にネットワークが乗っているという意味では脳は特別な臓器である。しかし「特別」と「神聖」は全く違う。この特別であるが神聖的でない脳という臓器の本質に迫ることは、人類にとって最もエキサイティングな挑戦だと言える。

世界が広がる?

現実の世界、つまり地球の広さは何千年経っても変わらない。しかし自分の頭の中の世界は思考の深さに応じていくらでも広がるし、また思考を怠ればどんどん狭くなっていく。よく自分の世界を広めるために世界を旅行するという人がいる。確かにそれは間違っていないだろう。しかし旅行で広がる世界なんてたかが知れている。それよりも思考によって広がる世界の方が圧倒的に広いのだ。何なら思考によって宇宙全体を飲み込むこともできる。しかし思考しなければ目の前の事さえ見えない。

世界を広める一番効果的な方法は、数学や物理を極める事だ。何なら生物学でもいい。生物学を究めることによって人体の細部に入り込むこともできる。化学は身の回りの現象を理解し、さらに面白い物を誕生させることが出来るかもしれない。地学を究めることによってこの地球を根本的に理解できるかもしれない。科学を理解するとは、自分の世界を圧倒的に広める事なのである。

科学を理解する時に大事な事は、マクロとミクロの双方から理解することだ。経済学でマクロ経済とミクロ経済があるように、科学の世界にもマクロとミクロがある。数学はそれがさらに顕著で、無限大と無限小までも厳密に扱ってしまう。マクロとミクロの両方から複眼的に世界を見ることによって、世界の広さは何十倍にも何百倍にもなる。単眼的思考は最弱であり、複眼的思考は最強である。

科学に哲学を持ち込めば最高である。世間では科学と哲学は相いれないものだという認識が強い。確かに科学と哲学は違う。科学の理論の中に哲学論理を持ち込むのは間違っている。しかし、科学に対する思考の中に哲学的要素を持ち込むことはいくらでもできる。というより、哲学無き科学は常に貧弱である。もし科学を究めようと思えば、広く学問を究めなければならない。超複眼的思考によって、誰もがまだ到達していない科学の頂に立つことを目指すことは、非常にエキサイティングである。

数式は大好きだが、数字は嫌いだ!

数学とは字のごとく数字の性質を扱う学問だが、高校までの数学とは違って大学以降の数学では意外と数字自体を扱うことは少ない。もちろん数学である以上、主人公は数字なのだが、その構造や演算の性質を記述する時は数字自体よりも数式で表す方が見通しが良くなり、一般性も高くなる。

タイトルで「数字は嫌いだ」と述べたが、ここで勘違いをしないでほしい。正確に書くと、「規則性のない数字、意味のない数字」が大嫌いだということである。だから数学で出てくる数字が嫌いなわけではない。簿記などのように何の規則性も数学的意味もない数字が大嫌いなのである。実際、数学に出て来る数字は非常に面白い。数学に出て来る数字と数式を縦横無尽に扱い、その性質を暴露することは非常に快感である。しかし簿記に出て来るような数字を見るとめまいがする。

なぜ近代数学は具体的な数字を扱うことが減ったのか?それは数学が高度な抽象理論なったことが原因である。昔は二次方程式の具体的な解を求めることが目的であった。それが「解の公式」という形で一段抽象化され、「5次方程式の解の公式が存在しない」というガロア理論へと高度に抽象化される。もちろん高度に抽象化された理論は難解かもしれないが、非常に豊富な内容を包摂する。そのような実り豊かな数学の世界を垣間見た数学者は、その世界からは抜け出せなくなる。それはいわば「数学中毒」と言えるかもしれない。しかしそのような中毒なら思う存分かかってみたいと思う。

世の中では抽象理論を敵視する風潮がある。抽象理論なんて何の役にも立たず、具体的な事象を示すことが大事だと。確かに社会で生きるためには具体性が最も重要なのかもしれない。しかし社会を高い視点で取りまとめる立場になるほど、抽象理論が威力を発揮する。商売をするには具体的な商品の値段が重要だが、経済政策を取りまとめる政府にとっては抽象理論が軸となる。数学も、身の回りで必要になる計算は具体的な数字の世界であるが、数学の世界の本質をより掘り下げるためには高度に抽象化した理論が必要になる。

物事をどれだけ抽象的に捉えることが出来るかということは、言い換えればその人の思考レベルを表していると言える。もし自分の生きる上でのホームグラウンド、あるいはテリトリーがはっきりしているのならば、そこでどれだけ思考や技術を抽象化できるかということに取り組むことは意味のある事である。さらに、もし自分がその世界のプロであるならば、抽象化の作業は欠かせない。抽象化の度合いはその人のステージなのである。

一般理論と特殊理論。

数学や物理理論は大きく一般理論と特殊理論に分けられる。もちろんその中間的な性質のものもあり、そう厳密に分けられる訳ではないが、大まかにはこのように分けられるであろう。一般理論には一般理論の面白さがあり、特殊理論には特殊理論の面白さがあるので、どちらが面白いかと一概に言える事ではないが、僕はどちらかというと一般理論の方が好きだ。

数学における特殊理論の代表は、特殊関数と言われる部類のものだろう。特殊関数とはある特殊な性質を持つ関数の事だが、僕は以前特殊関数にはほとんど興味がなかった。しかし最近ある事に気づいた。特殊理論と言われるものでも、それをどんどん掘り下げて追究して行くと一般理論にたどり着くのだ。特殊理論とは一般理論という大陸から離れた小島という捉えられ方をされることが多いが、その深い所ではその小島と一般理論大陸は強くつながっているのである。そこに特殊理論の醍醐味がある。最近はパンルヴェ方程式と言われる特殊な方程式が、百年近く経った今になって一般理論と結びつきそうだという研究結果もあるみたいだ。

ところで、“特殊”相対性理論はその名に反して最も“一般的”な物理理論と言える。“一般”相対性理論はそれに比べると少し特殊だ。物理理論においても、特殊な理論をさらに掘り下げると一般理論へと昇華することが多い。しかし数学と比べると、物理理論は一般理論とは言え特殊性が強いように感じる。最近では物理理論をきっかけに新しい数学理論が出来たり、その逆の事が起こったりということが日常茶飯事である。物理の枠組み、あるいは数学の枠組みということにこだわっていれば、数学と物理の間にまたがる本質的な仕事は出来ない時代なのだろうと強く感じる。

ここまで物理と数学における一般理論と特殊理論に関して述べたが、そのような構造は様々な所で見られる。経済でも「マクロ経済」と言われる一般理論のようなものから「ミクロ経済」と言われる特殊理論のようなものがある。ネットビジネスにおいても「プラットフォーマー」という一般的な部類から、プラットフォーマーが作った枠組みの中でどうビジネスを行うかという特殊な部類がある。そのような例を見ても、一般的な部類の方がその適用範囲の広さからより規模の大きい仕事が出来るようである。しかしプラットフォーマーのような一般的な仕事も、元を正せば非常に特殊な仕事から発展していることに気付く。なので一般的な部類で仕事をするにしても、特殊な仕事は無視できない。いかにして一般と特殊の間を行き来してその間の本質的なつながりを見抜くか?そのような本質を見抜いた時、仕事のスケールが飛躍的に大きくなることであろう。