科学・数理(サイエンス)」カテゴリーアーカイブ

数学とは本質を抽出して行く作業だ!

数学というものに対する認識は人それぞれ違うと思う。しかし人それぞれ違うとは言え、それぞれが数学というものに対してどのようなものかという認識を持つことは大切だ。もしかしたら人によっては、レジで計算するために必要なものだというくらいの軽い認識かも知れない。しかしそのような認識でも何も持たないよりかははるかにましだ。

研究レベルの数学に対しても、数学者の数学に対する認識はそれぞれ違うと思う。しかしそのような違いがあるからこそ、多様性のある数学の世界というものが出来上がる。そして一人の研究者にとっても、数学というものに対する解釈の仕方は複数あるかもしれない。僕自身もいくつかの解釈を持っている。なので表題の「数学とは本質を抽出して行く作業だ」というものは、その一つと捉えてもらいたい。

数学というものに取り組む時、「本質は何か?」という問いは非常に重要である。数学の深化とは、本質を切り出していく方向へ進むことである。もちろん数学の中にも純粋数学や応用数学と言われるそれぞれ毛並みの違う分野がある。特に応用数学に関しては、純粋数学によって切り出された本質を具象化する方向へ進むものである。とは言え、数学の本質を抽出して行く作業はどのようなものでも必要不可欠な作業だ。なので、数学を「本質を抽出して行く作業」だと捉える事は的外れなものではないと思う。

近年、学問がますます実用重視になって来ているように思う。お金に結び付く応用研究に重点が置かれ、すぐには実用化されない基礎研究が軽視されている。その基礎研究の究極が数学である。しかし、応用研究というものは、基礎研究の成果の上に成り立っている。従って、現在の基礎研究軽視は将来の応用研究から出る実用化にも大きく影響してくる。もちろん企業の開発現場であればそのような事もわからない訳ではないが、教育現場での基礎学問軽視は非常に問題があるように思える。

現在の社会の中には、「役に立つものを出せ!役に立たないものはいらない!」という圧力があるように強く感じる。学校現場でもそうである。社会に直接役に立つものか、受験に利用できる事に重点が置かれているのではないだろうか?そのような社会や教育現場の短絡的な風潮に危機感を感じているのは僕だけではないはずだ。

数学者・志村五郎の死。

5月3日、数学者の志村五郎プリンストン大学名誉教授が亡くなられたというニュースが流れた。志村五郎と言えば、フェルマーの大定理の証明においてもキーになった「谷山・志村予想」が有名であり、数学を学んだことのある学生ならその名を一度くらいは聞いたことがあるはずだ。

しかし、今回驚かされたことは、志村氏の死去のニュースがヤフーニュースで流れていたことだ。僕もヤフーニュースで志村氏の死を知った。いくら数学関係者の中で有名だったとは言え、ヤフーニュースで流れる程世間の注目を浴びているとは考えもしなかった。ヤフーニュースでこのニュースを見た人のうちどれくらいの人が興味を持ったのかはわからないが、数学研究というものが少しでも市民権を得られればと強く思う。ちなみに、谷山・志村予想のもう一人、谷山豊氏は、若くして自死をされている。

本屋の数学書コーナーに行くと、谷山豊全集というものが並んでいる。数学関係の全集とは一般の人にはなじみがないかもしれないが、全集が出されるほど谷山氏は偉大な数学者であった。そして志村氏も同様に偉大な数学者である。偉大な数学者や物理学者の研究に対しては、コレクテッドペーパーやコレクテッドワークスと言われる論文集が出されることがある。これらの論文集は偉大な学者の研究が一望できる非常に便利なものである。もしかしたら、これから志村氏の論文集も出るのかもしれない。と思ってAmazonで確認してみると、既に志村氏のcollected papersが出版されていた。やはり偉大だ。

感覚と論理。

感覚的な事と論理的な事は相反することのように思っている人もいるかもしれないが、感覚と論理はむしろ相補的、すなわち相補うような存在であると僕は考えている。物事を論理的に考えることは重要であるが、論理ばかりに目が行ってしまっていれば物事の本質を見失うことがある。重要なのは、論理からいかに感覚を掴むかということである。

ここで例を取り上げる。物理理論である電磁気学では、最も基礎となるマクスウェルの方程式と呼ばれる四つの方程式がある。そこではdiv、grad、rot、という三つの記号が出て来る。これらの記号は偏微分を使って数学的に厳密に表現することが出来る。しかしこれらの数式を覚えるだけではマクスウェル方程式の本質は掴めない。重要なのは、div(ダイバージェンス)を「発散」、grad(グラディエント)を「傾き」、rot(ローテーション)を「回転」と感覚的に捉える事である。この様に感覚的に捉えることが出来れば、後はそれらの感覚を基に容易に式変形が出来る。

日常では感覚は五感で捉えられることが多いが、数学や科学においては論理によって感覚を捉えるのである。論理と感覚を縦横無尽に使うことが出来れば、日常においても大きなスキルになるし、学問においては真の理解に結び付けることが出来、さらにそこから新し理論を構築することが出来るであろう。

地震学は真の科学になりえるか?

熊本地震から3年が経った。科学が発達した現在においても、大地震が発生するたびに毎度発せられるのが「想定外」という言葉だ。どこで地震が発生するのか全く予測がつかないのならいっそのこと地震予知など止めてしまえばとも思うが、その一方、地震予知への取り組みは地震学に対する最大の原動力にもなっているのでそう簡単な話ではない。

地震学は一応科学の一分野という事になっている。しかしどう考えても科学とは思えないような研究も存在する。というより、大地震が発生するたびに述べられる地震学者の見解は、どう考えても科学的とは思えないものが多い。その典型的な例が、「前回の地震から何十年経っているから、そろそろ起きる頃だ」というものだ。この様な見解は全く科学になっていない。これは科学ではなく、むしろ史学だ。このような史学的研究者は、百歩譲って地震学者だとしても、科学者とは名乗るべきではない。科学者から見ると、これは予測ではなくほとんど妄想と言って良い。もし本気で地震予知に力を入れるのならば、このような史学的な研究でなく、科学的メカニズムに則った研究に重点を置くべきだ。

もちろん、科学的に地震研究を行っている地震学者はたくさんいると思う。しかしメディアで取り上げられる地震学者の約半分は史学的だ。これにはメディア側にも責任があるのかもしれないが、一般市民ももっと科学的な地震学に興味を示すべきである。このような地震学に対する科学的理解があれば、防災効果は相乗効果で飛躍的に上がるはずだ。

僕は科学とは必ずしも日常に役立てるだけのものではないと思っているが、もし地震学を日常的に役立てたいと思うのならば、ただ単に起こるのかどうかという興味だけではなく、科学的な所からの根本的理解が必要だと思う。科学に対する実用的価値を過度に求めている割には、完全に重要な所が抜けているように思えてならない。

ブラックホールが直接観測されたようだが。

4月10日、国際的な研究チームが、ブラックホールを直接的に観測することに成功したことが報道された。最近はブラックホールというものが完全に市民権を得て日常的にも話題になることが多いが、これまではブラックホールの存在は間接的にしか観測されておらず、今回の観測が初の直接的観測となったようだ。

ブラックホール存在はアインシュタインの一般相対性理論からの帰結として出て来るが、相対論から初めてブラックホールの存在を導き出したチャンドラセカールのことはあまりよく知られていないように感じる。今回の直接的観測は大きな成果かも知れないが、それは重要性からという以上に、興味の大きさから来るものだと感じないわけではない。重要性という観点で言えば、チャンドラセカールの理論の方が圧倒的に大きい。しかし大理論の常と言うか、チャンドラセカールが理論的にブラックホールを発見した当時は周りの研究者からはほとんど受け入れられなかったという。もちろん、今となってはチャンドラセカールに対する評価は絶大だが。

本質的に重要な成果は、多くの場合すぐには受け入れられない。なので大理論を目指すには、同時に小さな結果を出し続けることが要求される。それが出来ないと自滅することになるかもしれないので、結果が出て評価されるのが先か?自滅するのが先か?という争いになる。

成果の大小は研究費の大きさに必ずしも比例しない。今回のブラックホールの直接観測には多くの研究者と多くの観測施設が関わっていたようだが、おそらくかかったお金も膨大であろう。しかしブラックホールの存在を導き出したチャンドラセカールは、おそらく紙とペンだけでこの重要な結果を出したと思われる。ペンの力は偉大である。そして科学では往々にして、ほとんどお金をかけずにペンだけで大理論が出される。もちろん研究している分野によってかかるお金はまちまちだが、研究結果は必ずしも研究費に比例しないことは認識しておくべきである。もちろん、研究者が生活できるくらいの最低限のお金は必要だが。

数学の基礎の基礎。

「基礎」と言っても、初歩という訳では全くない。「土台」という意味である。数学の土台に当たるところは、数学基礎論(数理論理学)である。数学基礎論が数学の一番の土台である割には、数学科の学生でも基礎論を修得している人は少ないであろう。僕もその修得していない人のうちの一人だが、数学をやっていて基礎をたどって行くとやはり基礎論になるので、最近、基礎論が気になっている。

基礎論の金字塔は何と言っても「ゲーデルの不完全性定理」であろう。これはすごく単純に誤解を恐れずに言えば「数学にはバグがある」ということだが、そもそもここで言う「数学」とは何か?数学の定義とは何か?ということが問題になってくる。ここで言う数学とは通称「ZFC」(ツェルメロ・フランケル体系に選択公理を付け加えたもの)のことだ。ZFCは基礎論や数理論理学をやっている人以外には馴染みのないものだが、ZFCがどのようなものくらいかは知っておいた方が良いかもしれない。

数学基礎論は数理論理学とも言われるように、数学よりも論理学に近いかもしれない。数理論理学者のことを「ロジシャン」と言うらしい。数学はロジックだけでは発展しないが、数理論理学を進めるのは99%ロジックなのかもしれない。

数理物理を研究しようと思うと、当たり前の事だが応用数学だけでなく純粋数学も必要だ。その純粋数学の基礎を突き詰めると数理論理学になる。従って数理論理学を勉強することは数学者にとっても理論物理学者にとっても非常に有益であるに違いない。最近、数理論理学の専門書をチェックしたので注文しようと思う。ゲーデルの論文の日本語訳も手元にあるが、「原論文でも」と思ったが、原論文がドイツ語であるので歯が立たない。まぁ、日本語でも英語でもいい。とにかく原典に当たることが重要だ。研究にも利用できるような気が(少し)する。

数学は非常に広い。しかし本質を知るにつれて既知の数学が少し窮屈になってきた。しかし未知の数学は恐ろしく広いはずだ。その証拠に数学の発展はエンドレスに続いている。既知の数学を勉強して理解するのは難しくないかもしれないが、未知の結果を出すのには骨が折れる。まぁ、何本骨が折れても目標とする結果が出れば良いのだが。

大学初年級の数学と小学校の算数。

理系における大学初年級の数学と言えば、線形代数、微分積分、集合・位相だ。これはどこの大学も大筋は変わらないと思う。特に数学科では大学1、2年でこの三教科を叩き込まれる。この三教科が簡単か難しいかはともかく、大学初年級でこれらの教科を理解することは可能かもしれない。しかし「“なぜ”この三教科を叩き込まれるのか?」ということを理解している人はほとんどいないと思う。しかしこの「なぜこの三教科を勉強するのか?」ということを理解することは、数学を修めるうえで一つの目標かも知れない。

学年が進んで行けば、群論・環論・体論の代数学や複素解析、関数解析、位相幾何学など様々な分野に進むことになる。しかしこれらの分野を理解して行けば、その根底にある構造は線形代数、微分積分、集合・位相にたどり着く事に気づく。だからこの三教科を理解しておけばその後の理解は容易になるし、理解していなければ数学の本質が掴めない。線形代数、微分積分、集合・位相は全ての数学の根幹なのである。

このような数学的構造はあらゆる分野に応用できるのではないかと僕は思う。物理学や工学はもちろんの事、生物学や経済学、さらには哲学まで、全ての根幹はここにあると考えている。数学は理系教科であり文系の人には必要ないと考えている人は多いだろう。しかし数学的思考は文系であろうが日常生活であろうがどこでも応用されるものである。特に全ての事柄において「構造」を見抜くには数学的視点は非常に有効である。

最後に一つ述べたいことは、小学校の算数はバカには出来ないと言うことだ。小学校の算数をバカにする人は、100%数学を理解していない。小学校の算数には数学の重要なエッセンスが凝縮されている。例えば(あえて専門用語で言うと)「可換」という概念や「測度」という概念、更には論理構造など、これらの大学レベルの高度な概念のエッセンスは全て小学校の算数に表れている。しかし肝心の小学教師がこれを全く理解していない。特にこれらを全く理解していない教師ほど、小学算数を誰でも教えられるとバカにしている。そして嘘を教えている。

初年級に叩き込まれるものには必ずその理由が存在する。大学初年級の数学にしても、小学算数にしてもそうだ。そしてここをしっかりと理解すれば、その後はそれらの組み合わせに過ぎない。ここでは算数・数学を例に取って言ったが、これらの事はあらゆる分野に当てはまる事である。初年級の学問をバカにしてはいけない。

日本的学問の自由。

数学も科学も普遍的なものなので「日本的」と言うのはおかしいかもしれないが、あえて言うと日本的数学、日本的科学というものがあるような気がする。数学の発祥は二千年程前のギリシャに行きつくし、科学というものが厳密に成り立ったのは17世紀のニュートンに行きつくと言える。従って、数学や科学はヨーロッパ的と言え、質的にも量的にも圧倒的にヨーロッパの功績が大きい。もちろん20世紀以降で言えばアメリカの功績が大きいのは言うまでもないが。

では日本的な数学・科学とは、どういう所が日本的なのか?それは理論内容と言うより理論が内包する哲学にあると言える。特にその中でも京都学派と言われるものの個性は際立っている。京都学派と言えば、哲学の西田幾多郎、和辻哲郎から、物理学の湯川秀樹、朝永振一郎を思い浮かべるが、忘れてはならないのが数学の佐藤幹夫だ。それらの哲学は京都と言う土地が醸し出すものなのか、それとも研究者の個性の醸し出すものなのか、と悩んでしまうが、おそらくその両方ともであろう。最近、佐藤幹夫の理論に触れることが多いが、その一番特徴的な所は圧倒的な個性であろう。佐藤幹夫の理論には佐藤幹夫という人間の個性が凝縮されている。

京都は非常に自由だと言われる。そのような京都に憧れる研究者も多いが、最近僕が危惧しているのは日本全体に覆う制約だ。少し前のブログでも少し触れたが、法的にも日本の学問研究を規制する方向に向かっている。この流れは世界の学問の潮流とは真逆を行くものだ。こんな事では日本の科学や広く学問が衰退するのも無理はない。この様に学問に理解のない日本においては科学技術をリードして行けるはずもなく、それに伴って経済も衰退していくのが目に見えている。学問と経済は関係ないと考える人も少なくないが、現代社会では全てが科学などの学問によって支えられていると言っても過言ではなく、目の前の金銭的な事ばかり見て行う施策政策のもとでは、経済や金融などの金銭的豊かさまでも奪ってしまうことになるだろう。

今の日本はとてもじゃないが世界をリードしているとは言えない。科学などの学問や経済において日本は後れをとっている。しかし後れをとっているが故に目の前の事しか見えていない。今日本にとって必要なのは長期的展望である。確かに目の前を走るGAFAは気になるし、焦ることもあるだろう。しかしそれを追いかけてばかりいればその結果は二番煎じ三番煎じであろう。いや、二番三番ならまだましだ。それほど現在の日本の置かれた状況は深刻だ。

広い認識では、「教育が国を作る」と言われている。明治維新後の日本の発展、そして戦後の日本の発展は教育が作ったと言っても過言ではない。しかし教育も時代によって変えて行くべきだ。戦後の教育が上手く行ったからと言ってその教育が今の時代にマッチするとは限らない。それどころか今の日本の教育は世界的潮流に逆行している。それは国の政策レベルでも学校の教育レベルでも同じだ。僕が現場の教師から聞く話は非常にひどいものである。学問において自由を伝えるべき教師がそれと真逆な事を教えている。教育というものは一朝一夕で成果の出るものではない。だからこそ長期的展望をもって日本の学問、日本の教育というものを構築して行かなければならない。そこでキーワードになるのはやはり「学問の自由」としか考えられない。

数学は哲学、しかし哲学は数学ではない。

古代ギリシャでは、数学は哲学の一部門であった。もちろん科学も哲学の一部であった。それらの数学や科学は「自然哲学」と呼ばれていたみたいだ。すなわち、自然の仕組みを解明する科学は、自然に対する徹底的な思考、すなわち哲学なのである。しかし現代では科学と哲学はほぼ別部門になっている。

しかし現代でも、科学に対して哲学的な姿勢を求めることは重要ではないかと強く感じる。すなわち、数学や科学を「自然哲学」と捉えるのである。しかし何もマニアックな哲学と同じように捉える必要はない。大事なのは、数学や自然に対して「意志」を持って究明することである。数学はある意味ロジックであるが、しかしロジックだけで数学が成り立つ訳ではない。そこには数学者の意志や哲学が入魂されているし、計算だけならロジックだけで出来るかもしれないが、概念の定義などはロジックだけでできるものではない。

最近、ロジカルシンキングという言葉をたまに聞くが、数学においてはロジカルシンキングは当たり前の事であり、重要なのはロジカルシンキングを超えるところにある。数学的実態をどう視覚的に捉えるかとか、それまでにはなかったロジックを発明する必要もある。数学とは実に有機的で色鮮やかなものなのである。もし数学に対して無機的で機械的だと感じているのならば、それは数学の本質が見えていないということだ。

時には完全なロジックから、ロジック以上のものが生まれることもある。その代表が「ゲーデルの不完全性定理」であろう。ゲーデルの哲学がどんなものであったか?僕には知る由もないが、完全なロジシャンであるゲーデルであるからこそ、普通の数学者以上の有機的な偉大な哲学があったに違いない。

数学や科学において、本質的に直感はあてにならない。

数学や科学においては、実に直感はあてにならないものである。例えば有限の数を数えるという直感が無限の数では全くあてにならないことを示したのが、集合論を創始したカントールである。さらに空間や時間というものが直感から得られるものとは全く違うことを示したのが、特殊相対性理論を構築したアインシュタインであった。

数学や科学を構築するにあたっての大原則が二つある。一つ目は概念の厳密な定義、二つ目が厳密な論理による展開である。この二つがないと、数学や科学の発展はありえない。なぜ古代ギリシャ時代のユークリッドは誰もが当たり前に思えることを、一見回りくどく思えるような論理で展開したのか?それは物事の本質を明らかにするためである。当たり前に思えることを論理的に基礎づけしてみると、当たり前だと思っていたことが当たり前ではないことが明らかになる。そして本質は何で、それに付随するものは何かとういうことも白日の下にさらされる。2千年前のユークリッドの定式化なしに現代の科学の発展はありえないのである。

しかし19世紀の哲学者・ショーペンハウアーは「意志と表象としての世界」で、ユークリッドの議論を「義足を履くために足を切断するようなものだ」と言っている。ショーペンハウアーは「直感こそが一番正しいものだ」と論じているのである。さらに空間や時間に関する論理に至っては、その当時の科学的見識に照らし合わせても目を当てられないくらいひどいものである。ニュートンの科学的見識に照らし合わせてもショーペンハウアーの議論は幼稚なものであるが、「意志と表象としての世界」を出版したのは1918年なので、その十年以上前にはアインシュタインの特殊相対性理論と言われる時間と空間の物理学が世に出ている。ショーペンハウアーが不勉強だったのかとも思ったが、おそらく数学や科学に敵対心を持ち、それらを否定することに躍起になっていたのではないかと思われる。

僕は科学を専門としている人間の中では、かなり哲学を重視し好意を持っている方だと思っている。しかし最近、ショーペンハウアーをはじめとするドイツ哲学に失望している。そう言えば、微分積分学をニュートンと独立に発見したライプニッツは哲学者としても有名だ。ライプニッツの哲学に触れた訳ではないが、数学者であるライプニッツの哲学はおそらく自然科学的だと思われる。機会があればライプニッツの哲学にも踏み込んでみようと思う。

なぜ論理的である哲学で直感が重視されるのか?僕には理解できない。初めに述べた無限の数を扱う集合論や時間と空間を扱う相対性理論以上に、ミクロの世界を扱う量子論は反直観的だ。全てが直観とは反する振る舞いをする。科学では直感の呪縛から逃れることが大きな飛躍につながるのである。直観とは実にあてにならないものである。そう人間に気づかせてくれるのが、人間が科学を追究する一つの意義かも知れない。